学习一个新的数学对象，最忌讳的就是直接阅读定义本身，而不去关注这些定义背后的提出动机。值得一提的是，「提出动机」不一定非要尊重历史，对我来说，寻找一个最自然的「导出路径」，才更能加深自己的理解。拿一个基础的例子来说，矩阵的相似本质上可以解释成线性空间的基变换，这就比莫名其妙地给出一个 \(P A P^{-1}\) 的所谓的等价关系要来得自然得多。我看过很多代数的教材，可我每次看到半直积的定义，都完全无法理解其由来。诚然，我很容易手动验证，半直积定义出来的东西，确实是一个奇奇怪怪的群，但是这个群的意义在哪？这是我读了这么多教材，听了很多课，一直都没有得到解答的问题。
幸运的是，我最近读论文的时候，偶然间真正看到了半直积结构的意义，欣喜之余，记录于此。
「串联」一组置换
考虑 \(\{1,2,3\}\) 上的置换，取旋转：\(r:(a,b,c) \mapsto (c,a,b)\)，对称：\(s:(a,b,c)\mapsto (a,c,b)\)，容易验证：
\[ \langle r \rangle \simeq \mathbb Z_3, \langle s \rangle \simeq \mathbb Z_2 \]
问题：\(\langle r \rangle \langle s \rangle= \{ r^i s^j: i,j \in \mathbb Z\}\) 可以成为作用于 \(\{1,2,3\}\) 上的自然的置换群吗？
为了让 \(\langle r \rangle \langle s \rangle\) 能够作为置换群自然地作用在 \(\{1,2,3\}\) 上，首先要考虑的是，在置换乘法意义下，是否有 \(r_1 s_1 r_2 s_2 \in \langle r \rangle \langle s \rangle\)？通俗地说，「旋转-对称-旋转-对称」的组合，是否还是一组「旋转-对称」？幸运的是，这是可以做到的，因为 \(s r s^{-1}=r^{-1} \in \langle r \rangle\)，所以总是有：
\[ r_1 s_1 r_2 s_2 = (r_1 s_1 r_2 s_1^{-1}) s_1 s_2 \in \langle r \rangle \langle s \rangle \]
于是，我们可以定义 \(r_1 s_1 \odot r_2 s_2 := (r_1 s_1 r_2 s_1^{-1}) s_1 s_2\)，那么，这个 \(\odot\) 能否构成群的乘法？答案显而易见，因为这个 \(\odot\) 跟置换乘法没有区别，且 \(r_k s_k\) 总有逆元 \((s_k^{-1} r_k^{-1} s_k) s_k^{-1}\). 如果读者有一定的对称群论基础，应该不难发现，\(\langle r \rangle \langle s \rangle\) 就是二面体群 \(D_6\)，这个群的乘法并不是简单的直积关系，无法同构于外直积群 \(\langle r \rangle \times \langle s \rangle \simeq \mathbb Z_6\). 但是，如果将 \(\odot\) 视为内直积的形式，这就启发我们在集合 \(\langle r \rangle \times \langle s \rangle\) 上定义另外一种乘法：
\[ (r_1, s_1) \odot (r_2, s_2) := (r_1 s_1 r_2 s_1^{-1}, s_1 s_2) \]
根据前面的推导，这种乘法定义出来的群结构，同构于 \(\langle r \rangle \langle s \rangle \simeq D_6\)，我们将这种结构记作 \(\langle r\rangle\) 与 \(\langle s \rangle\) 的半直积 \(\langle r \rangle \rtimes \langle s \rangle \simeq \mathbb Z_3 \rtimes \mathbb Z_2\). 到这里，半直积的意义就清晰可见了——将一组「旋转-对称」打包，并找到一种特定的乘法，使得「旋转-对称」乘上「旋转-对称」仍然是「旋转-对称」，从而构成一个所谓的半直积群结构.
一般情形的推广
从 \(D_6 \simeq \mathbb Z_3 \rtimes \mathbb Z_2\) 这个例子出发，将半直积结构的本质要求提取出来，我们就可以得到一般的半直积定义了. 考虑两个一般的群 \(N,H\)，令它们都作用在 \(\Omega\) 上，即将 \(N,H\) 视为 \(\mathrm{Sym}(\Omega)\) 的子群. 若 \(N,H\) 在 \(\mathrm{Sym}(\Omega)\) 中的乘法意义下，有 \(\forall h \in H, h N h^{-1} = N\)，即 \(H\) 正规化 \(N\)，那么集合 \(N \times H\) 上存在半直积结构 \(N \rtimes H\)，其中乘法定义为：
\[ (n_1,h_1) \odot (n_2,h_2) := (n_1 h_1 n_2 h_1^{-1}, h_1 h_2) \]
敏锐的读者可能会发现，这个定义看上去似乎依赖 \(N,H\) 作用在 \(\Omega\) 上的方式，然而具体的作用方式我们并没有点出来，因为这在本质上并不重要. 那么，真正重要的是什么？让我们回到另一个等价的定义，也是各大经典教材中能找到的经典定义——设 \(N,H\) 是两个一般的群，\(\varphi: H \to \mathrm{Aut} (N), h\mapsto \varphi_h\) 为群同态，那么集合 \(N \times H\) 上存在半直积结构 \(N \rtimes_\varphi H\)，其中乘法定义为：
\[ (n_1,h_1) \odot_\varphi (n_2,h_2) := (n_1 \varphi_{h_1}(n_2), h_1 h_2) \]
这个定义非常容易引起初学者的困惑，我们来逐步拆解，为什么说这跟上面给出的定义是等价的. 下面且记 \(G=N \rtimes_\varphi H\)，则 \(N,H\) 分别同构于 \(G\) 的两个子群 \(N \times \{e_H\}, \{e_G\} \times H\)，我们直接将 \(N,H\) 视为 \(G\) 的子群，不难验证：
- \(N \cap H = \{e_G\}\).
- \((n,h)=(n,e_H)\odot_\varphi (e_G,h)\)，即 \(G=N H\).
- \(p:G \to H, (n,h) \mapsto h\) 是满同态，且 \(\ker p = N\)，即 \(N\) 是 \(G\) 的正规子群.
- \((e_N,h)\odot_\varphi (n,e_H)\odot_\varphi (e_N,h)^{-1}=(\varphi_h(n),h)\odot_\varphi (e_N,h^{-1})=(\varphi_h(n),e_H)\)，即 \(\varphi_h (n)= h n h^{-1}\).
如何呢？\(N\) 本质上就是 \(G\) 的正规子群，\(\varphi_h\) 本质上就是 \(G\) 上的共轭作用. 聪明的读者可能已经发现了，在最初的定义中，\(\Omega\) 具体是什么，作用方式具体如何，这在本质上并不重要，重要的是 \(H\) 能够在 \(\mathrm{Sym}(\Omega)\) 上正规化 \(N\)，而这一点已经由 \(N \unlhd G\) 所保证了. 因此，随便让 \(G\) 作用在某个 \(\Omega\) 上，或者说任取群同态 \(G\to \mathrm{Sym}(\Omega)\)，结果都是一样的. 例如，使用经典的 Cayley 定理，\(G\) 可以自然地左乘作用在 \(G\) 或者 \(G / N\) 上；\(D_6 \simeq \mathbb Z_3 \rtimes \mathbb Z_2\) 之所以是一个相当直观的例子，正是因为这些群都可以自然地嵌入到 \(S_3\) 当中.
结语
借用 Paolo Aluffi 的话来说，"One of the best ways to ‘understand’ a group is to let it act on something". 从群作用的角度来看半直积，它本质上就是将两种作用「串联」起来的结构，而为了能让这个结构成为群结构，我们要求其中一个作用能够正规化另一个作用，仅此而已.
最后，做一个小小的测试吧，当你真正理解半直积之后，所谓圈积也就不足为奇了. 设 \(T\) 为群，\(H \leq S_n\)，考虑群同态：
\[ \begin{aligned} \varphi:H &\to \mathrm{Aut}(T^n)\\ \varphi_h(t_1,t_2,\dots,t_n)&\mapsto (t_{h(1)},t_{h(2)},\dots,t_{h(n)}) \end{aligned} \]
定义圈积 \(T \wr H:= T^n \rtimes_\varphi H\)，你现在能否轻松理解其含义了呢？